7. Osnove naključnih procesov

Vsebina

7. Osnove naključnih procesov#

Dinamične obremenitve pogosto niso deterministične, ampak imajo lahko v celoti ali delno naključne lastnosti. Primer naključnih obremenitev predstavljajo obremenitve zaradi morskih valov ali hrapavosti ceste. Take obremenitve je treba obravnavati kot naključne procese. V tem poglavju si bomo pogledali, kako naključno obremenitve obravnavamo ter jih potem uspešno uporabimo pri dinamskih sistemih.

Naključni podatki se razlikujejo od determinističnih podatkov, saj jih ni mogoče natančno predvideti. Vendar pa lahko s pomočjo analize segmentov naključnih podatkov razberemo določene značilnosti. Na primer, če merimo hrapavost površine enega segmenta, lahko na podlagi tega s določeno verjetnostjo sklepamo o hrapavosti drugih segmentov. Pri opisu naključnih procesov se pogosto uporablja predpostavka o porazdelitvi procesa, kot je na primer normalna porazdelitev.

Čeprav je mogoče naključni proces analizirati v časovni domeni, obstajajo določene pomanjkljivosti pri uporabi takšnega pristopa. Za ustrezno oceno procesa je potrebno zbrati dovolj veliko število vzorčnih meritev (ali opazovanj) v časovni domeni, ki jih nato analiziramo kot skupino (ansambel ali ensemble). Kot bomo videli kasneje, pa je analiza strukturne dinamike in naključnih procesov v frekvenčni domeni bistveno bolj elegantna.

Priporočamo vam, da si ogledate nekatera referenčna besedila, ki se poglobljeno ukvarjajo z naključnimi procesi:

Bendat and Piersol [2011],
Newland [2012] in
Shin and Hammond [2008].

Nekatere vsebine v tem besedilu so povzete po knjigi Slavič et al. [2020].

Kaj je naključni proces?#

Naključni proces je definiran s kombinacijo funkcije gostote verjetnosti (ang. Probability Density Function - PDF) in spektralno gostoto moči (ang. Power Spectral Density - PSD).

Slika spodaj prikazuje ansambel \(\left\{x_k(t)\right\}\) vzorčnih funkcij (opazovanj) \(x_k(t)\), pri čemer je vsako opazovanje \(k\) sestavljeno iz naključne spremenljivke v času \(t_i\): \(x_k(t_i)\). Kot bo obravnavano kasneje, predpostavki o stacionarnosti in ergodičnosti bistveno poenostavijo analizo naključnih podatkov (več pozneje).

random_ensemble

Normalna porazdelitev (Gaussov proces)#

Gaussova porazdelitev je pogosto opažena pri različnih fizikalnih pojavih, njeno razširjenost pa pojasnjuje centralni limitni teorem (Centralni limitni teorem).

Funkcija gostote verjetnosti (PDF) \(p(x)\) za naključni proces \(\left\{x(t_i)\right\}\) definira ob času \(t\) verjetnost amplitude \(x\); za Gaussov proces je PDF definirana kot:

\[ p(x) = \frac{1}{\sigma \, \sqrt{2 \, \pi}} \, \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \,\sigma^2}}, \]

kjer je \(\mu\) povprečna vrednost, \(\sigma\) je standardni odklon (deviacija) oziroma \(\sigma^2\) varianca. Srednja vrednost \(\mu\) in varianca \(\sigma^2\) določata obliko PDF in se pogosto imenujeta prvi moment in drugi centralni moment; izračunamo ju s pomočjo funkcije gostote verjetnosti:

\[ \mu = \int_{-\infty}^{+\infty} x \, p(x)\, \textrm{d} x, \]

\[ \sigma^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 \, p(x)\, \textrm{d} x. \]

Primer različnih normalnih porazdelitev prikazuje slika spodaj.

../_images/257809690ba494e4b71f5b942e2aab72ddbfd3b6dc98443be9e05238d3943c01.png

S spodnjim izračunom lahko preverimo, da sta prvi moment in drugi centralni moment za Gaussovo/normalno porazdelitev dejansko \(\mu\) in \(\sigma^2\):

import sympy as sym
σ, μ, x, = sym.symbols('\\sigma, \\mu, x', real=True, positive=True)
π = sym.pi

p = 1/(σ*sym.sqrt(2*π)) * sym.exp(-(x-μ)**2/(2*σ**2))

m1 = sym.integrate(x*p, (x, -sym.oo, +sym.oo))
cm2 = sym.integrate((x-μ)**2 * p, (x, -sym.oo, +sym.oo))

m1

\[\displaystyle \mu\]

cm2

\[\displaystyle \sigma^{2}\]

Spodaj je še primer numeričnega generiranja normalne porazdelitve in primerjava s teoretično funkcijo gostote verjetnosti.

../_images/529345f676f81033aa418d079d608b564b8109c89bc891e0aeab40911822a691.png

../_images/9f64fec50c5328c19a940dbfce7515fbb96706dc15c5d22280d1521ef78f5f34.png

Centralni limitni teorem#

Centralni limitni teorem trdi, da ko so neodvisne naključne spremenljivke seštevane med seboj, njihova vsota sledi normalni porazdelitvi (ne glede na porazdelitev prvotnih spremenljivk), pod pogojem, da je velikost vzorca dovolj velika.

Spodnja koda demonstrira centralni limitni teorem (ang. Central Limit Theorem - CLT) z uporabo enakomerno porazdeljenih naključnih spremenljivk. Koda ustvari N=10 vzorcev, vsak vzorec z k=5000 naključnimi vrednostmi, ki sledijo enakomerni porazdelitvi med 0 in 1. Nato izračuna vsoto prvih n vzorcev (n = 1, 2, 5, 10) in prikaže njihove verjetnostne porazdelitve s histogrami. Za vsak histogram je izračunana tudi teoretična normalna porazdelitev z uporabo povprečja in standardne deviacije vsote n vzorcev. Izkaže se, da vsota enakomerno porazdeljenih vzorcev konvergira v normalno porazdelitev.

Show code cell source Hide code cell source

import numpy as np
import sympy as sym
import matplotlib.pyplot as plt

seed = 123
rng = np.random.default_rng(seed)
N = 10 # število naključnih vzorcev
k = 5000 # število naključnih vrednosti v vzorcu
data = [rng.uniform(low=0, high=1, size=k) for i in range(N)]

# Seštevanje za n=1, 2, 5 in 10
S1 = np.sum(data[:1], axis=0) # n=1
S2 = np.sum(data[:2], axis=0) # n=2
S5 = np.sum(data[:5], axis=0) # n=5
S10 = np.sum(data[:10], axis=0) # n=10

σ, μ, x, = sym.symbols('\\sigma, \\mu, x', real=True, positive=True)
π = sym.pi
p = 1/(σ*sym.sqrt(2*π)) * sym.exp(-(x-μ)**2/(2*σ**2)) # Teoretična gostota verjetnosti

fig, axs = plt.subplots(2, 2, figsize=(15, 5))
fig.suptitle(r'Seštevek enakomerno porazdeljenih naključnih spremenljivk - verjetnostna porazdelitev')
bins = 25 # število stolpcev za histogram

# Slika za n=1
axs[0, 0].hist(S1, bins=bins, density=True, label='$n=1$')
data = {σ: np.std(S1), μ: np.mean(S1)}
pdf = sym.lambdify(x, p.subs(data))
x_S1 = np.linspace(-3*data[σ]+data[μ], 3*data[σ]+data[μ], 100)
axs[0, 0].plot(x_S1, pdf(x_S1), lw=3, label='Normalna gostota verjetnosti')
axs[0, 0].set_ylabel('$p(x)$')
axs[0, 0].legend(loc='upper right')

# Graf za n=2
axs[0, 1].hist(S2, bins=bins, density=True, label='$n=2$')
data = {σ: np.std(S2), μ: np.mean(S2)}
pdf = sym.lambdify(x, p.subs(data))
x_S2 = np.linspace(-3*data[σ]+data[μ], 3*data[σ]+data[μ], 100)
axs[0, 1].plot(x_S2, pdf(x_S2), lw=3, label='Normalna gostota verjetnosti')
axs[0, 1].set_ylabel('$p(x)$')
axs[0, 1].legend(loc='upper right')

# Graf za n=5
axs[1, 0].hist(S5, bins=bins, density=True, label='$n=5$')
data = {σ: np.std(S5), μ: np.mean(S5)}
pdf = sym.lambdify(x, p.subs(data))
x_S5 = np.linspace(-3*data[σ]+data[μ],3*data[σ]+data[μ], 100)
axs[1,0].plot(x_S5, pdf(x_S5), lw=3, label='Normalna gostota verjetnosti')
axs[1,0].set_xlabel('$x$')
axs[1,0].set_ylabel('$p(x)$')
axs[1,0].legend(loc='upper right')

axs[1,1].hist(S10, bins=bins, density=True, label='$n=10$');
data = {σ: np.std(S10), μ: np.mean(S10)}
pdf = sym.lambdify(x, p.subs(data))
x_S10 = np.linspace(-3*data[σ]+data[μ],3*data[σ]+data[μ], 100)
axs[1,1].plot(x_S10, pdf(x_S10), lw=3, label='Normalna gostota verjetnosti')
axs[1,1].set_xlabel('$x$')
axs[1,1].set_ylabel('$p(x)$')
axs[1,1].legend(loc='upper right');
plt.show()

../_images/55d69226fd109bd967d76f26e00aa9418674ce4d719635e8078819ba04026dd9.png

Centralni limitni teorem tudi pravi, da se porazdelitev vzorca povprečij vsake naključne spremenljivke približuje normalni porazdelitvi, ko velikost vzorca narašča, tudi če je prvotna populacija porazdeljena drugače kot normalno. To drži, če so vzorci neodvisni in enako porazdeljeni ter je velikost vzorca dovolj velika.

Poglejmo si sedaj še zgled z drugačno porazdelitvijo: spremljali bomo čas med prihodoma dveh študentov v učilnico, kateri je eksponentno porazdeljen. V kodi spodaj kreiramo zelo velik vzorec: število_študentov=100000 in opazimo, da večina študentov pride s časovno razliko manj kot 20 s. Naslednja slika prikazuje povprečja vzorcev, kjer smo začetne podatke razdelili v vzorce velikosti: velikost_vzorca=100. Opazimo, da so povprečja normalno porazdeljena.

../_images/ca33e5e87780afed25ea2a95555297ed832b01bff48caabb5a9c1824d2b12e12.png

../_images/d6ff0a6457a85cc4efa67a5e90d21c33c19618c52970a3bdb70e54d7e5e0dfbc.png

Momenti funkcije gostote verjetnosti#

V nadaljevanju si bomo pogledali orodja za popis lastnosti naključnih procesov. Predpostavimo, da imamo dva naključna procesa \(\left\{x_k(t)\right\}\) in \(\left\{y_k(t)\right\}\), kjer je \(k\) indeks ponovitve procesa ob času \(t\). Statistično povprečje celotnega ansambla ponovitev procesa (čez indeks \(k\)) označimo kot \(E[]\) (\(E[]\) označuje pričakovano vrednost/posplošeno povprečje, ang. expected value, glejte tudi povezavo):

\[\begin{split} \begin{split} \mu_x(t) &= E[x(t)],\\ \mu_y(t) &= E[y(t)].\\ \end{split} \end{split}\]

Opomba: zgornji zapis pomeni, da se povprečje lahko spreminja s časom \(t\).

Opomba

Zgornji izraz posplošimo tako, da definiramo \(n\)-ti moment funkcije gostote verjetnosti:

\[ \mu_{x}^n(t)= E[x^n(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^n\, p(x)\, \textrm{d} x \]

Kovariančne funkcije so za dva procesa \(\left\{x_k(t)\right\}\) in \(\left\{y_k(t) \right\}\) definirane kot:

\[\begin{split} \begin{split} C_{xx}(t, t+\tau) &= E \big{[}(x(t) - \mu_x(t)) \, (x(t+\tau) - \mu_x(t+ \tau))\big{]}, \\ C_{yy}(t, t+\tau) &= E \big{[}(y(t) - \mu_y(t)) \, (y(t+\tau) - \mu_y(t+ \tau))\big{]}, \\ C_{xy}(t, t+\tau) &= E \big{[}(x(t) - \mu_x(t)) \, (y(t+\tau) - \mu_y(t+ \tau))\big{]} \\ \end{split} \end{split}\]

Poseben primer, vreden pozornosti, je pri \(\tau = 0\):

\[\begin{split} \begin{split} C_{xx}(t, t) &= E \big{[}(x(t) - \mu_x(t))^2\big{]}= \sigma_x^2(t), \\ C_{yy}(t, t) &= E \big{[}(y(t) - \mu_y(t))^2\big{]}= \sigma_y^2(t), \\ C_{xy}(t, t) &= E \big{[}(x(t) - \mu_x(t)) \, (y(t) - \mu_y(t))\big{]} = C_{xy}(t)\\ \end{split} \end{split}\]

Varianci \(\sigma_x^2(t)\) in \(\sigma_y^2(t)\) sta tako definirani in \(C_{xy}(t)\) je kovarianca med \(\left \{x_k(t)\right\}\) in \(\left\{y_k(t)\right\}\) ob času \(t\).

Če bi analizirali proces z dvodimenzionalno normalno porazdelitvijo, bi bile lastnosti \(\sigma_x^2(t)\), \(\sigma_y^2(t)\) in \(C_{xy}(t)\) dovolj za popis verjetnosti v določenih časovnih točkah \(t\).

Opomba

Zgornji izraz posplošimo tako, da definiramo \(n\)-ti centralni moment funkcije gostote verjetnosti:

\[ \sigma^n(t)= E[(x(t)-\mu_x)^n] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu_x)^n\, p(x)\, \textrm{d} x \]

Opomba

Za naključna procesa \(\left\{x_k(t)\right\}\) in \(\left\{y_k(t)\right\}\) pravimo, da sta šibko stacionarna, ko so srednje vrednosti in kovariančne funkcije časovno neodvisne. Procesi se štejejo za močno stacionarne, ko so časovno neodvisni tudi statistični momenti višjega reda in križni momenti. Ker je Gaussov proces definiran z dvema statističnima momentoma (funkcijo porazdelitve verjetnosti je mogoče izpeljati samo iz srednjih vrednosti in kovarianc [Newland, 2012]), šibka in močna stacionarnost pri Gaussovem procesu sovpadata.

Opomba

Auto-korelacijska funkcija \(R_{xx}(\tau)\) in križno-korelacijska funkcija \(R_{xy}(\tau)\) se uporabljata za stacionarne naključne procese in sta enaki kovariančnim funkcijam v primeru procesa z ničelno srednjo vrednostjo:

\[\begin{split} \begin{split} R_{xx}(\tau) &= E[ x_k(t) \, x_k(t+\tau)], \\ R_{yy}(\tau) &= E[ y_k(t) \, y_k(t+\tau)], \\ R_{xy}(\tau) &= E[ x_k(t) \, y_k(t+\tau)]. \\ \end{split} \end{split}\]

Ergodičnost#

V ergodičnem procesu lahko statistične lastnosti (npr. povprečje ali varianca) namesto čez ansambel opazovanj (\(k\)) določimo na podlagi časovnega razvoja (\(t\)) enega samega opazovanja.

Zgoraj (Momenti funkcije gostote verjetnosti) smo srednjo vrednost določili čez ansambel dogodkov. Ob predpostavki ergodičnosti pa jo lahko določimo na podlagi časovnega povprečja:

\[\begin{split} \begin{split} \mu_x(k) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T}\int_{0}^{T} x_k(t)\, \textrm{d} t, \\ \mu_y(k) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} y_k(t)\, \textrm{d} t.\\ \end{split} \end{split}\]

Preprosto povedano: če bi hkrati vrgli igralno kocko za Človek ne jezi se 1000 ljudi, bi dobili zelo podoben rezultat, kakor pa, če bi ena oseba vrgla kocko 1000-krat. Pri tem moramo predpostaviti, da zaporedni dogodki v času (ko meče ena oseba) niso med seboj povezani (npr. da se kocka s časom ne obrablja). V zgornji enačbi tako opazujemo \(k\)-ti proces v času.

Podobno lahko trdimo za kovariančno funkcijo:

\[\begin{split} \begin{split} C_{xx}(\tau, k) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left[x_k(t)-\mu_x(k)\right] \, \left[x_k(t+\tau) - \mu_x(k)\right] \textrm{d} t \\ &= R_{xx}(\tau, k) - \mu_x^2(k), \\ C_{yy}(\tau, k) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left[y_k(t)-\mu_y(k)\right] \, \left[y_k(t+\tau) - \mu_y(k)\right] \textrm{d} t \\ &= R_{yy}(\tau, k) - \mu_y^2(k), \\ C_{xy}(\tau, k) &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \left[x_k(t)-\mu_x(k)\right] \, \left[y_k(t+\tau) - \mu_y(k)\right] \textrm{d} t \\ &= R_{xy}(\tau, k) - \mu_x(k) \, \mu_y(k). \\ \end{split} \end{split}\]

Opomba

Za proces rečemo, da je šibko ergodičen (ang. weakly ergodic), če so časovna povprečja enaka povprečjem ansambla dogodkov, neodvisno od izbranega \(k\):

\[\begin{split} \begin{split} \mu_x(k) &= \mu_x, \\ \mu_y(k) &= \mu_y, \\ C_{xx}(\tau, k) &= C_{xx}(\tau), \\ C_{yy}(\tau, k) &= C_{yy}(\tau), \\ C_{xy}(\tau, k) &= C_{xy}(\tau). \\ \end{split} \end{split}\]

Če pogoji šibke ergodičnosti veljajo za vse statistične lastnosti višjega reda, je proces močno ergodičen (ang. strongly ergodic). Za Gaussovo porazdelitev pa sta močna in šibka ergodičnost zamenljiva izraza, kot je bilo v primeru stacionarnosti - prvi moment in drugi centralni moment sta dovolj za enolični opis Gaussove porazdelitve. V takih primerih so statistične lastnosti vsake ločene vzorčne funkcije reprezentativne za celoten ansambel. Pri nadaljnji analizi ergodičnih procesov lahko torej indeks \(k\) izpustimo in vzorčno funkcijo, ki v celoti opisuje lastnosti naključnega procesa, označimo z \(x(t)\).

Ergodičnost je pomembna iz različnih razlogov: poenostavlja nadaljnjo teoretično obravnavo naključnih procesov; še pomembneje pa je, da omogoča analizo dejansko izmerjenih naključnih podatkov. Namesto analize velikega ansambla časovnih zgodovin pri istem času \(t\), običajno zadostuje, da si ogledamo eno samo časovno zgodovino in na podlagi predpostavke ergodičnosti izluščimo iz nje potrebne statistične lastnosti.

V strukturni dinamiki ponavadi predpostavimo, da ima proces ničelno povprečje in je zato varianco \(\sigma_x^2\) za takšen primer mogoče izračunati na različne načine:

\[\begin{split} \begin{split} \sigma_x^2 &= E \left[x^2(t)\right] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \, p(x)\, \textrm{d} x \\ &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^2(t)\,\textrm{d} t \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} S_{xx}(f)\,\textrm{d} f. \\ \end{split} \end{split}\]

V zgornjih izrazih je predpostavljeno, da \(x(t)\) predstavlja periodične podatke s periodo \(T\). S \(S_{xx}(f)\) smo označili spektralno gostoto moči (ang. power spectral density) in smo se v tej vrstici naslonili na Parsevalov teorem (glejte: Parsevalov teorem in močnostni spekter). V naslednjem poglavju si bomo spektralno gostoto moči pogledali bolj podrobno. Opomba: če obravnavamo normalno porazdeljeni proces z ničelno srednjo vrednostjo, je varianca edini manjkajoči parameter, ki tako porazdelitev enolično določi.

Gostota močnostnega spektra (ang. Power Spectral Density, PSD)#

Gostota močnostnega spektra opisuje frekvenčno gostoto moči naključnega procesa in dopolnjuje funkcijo gostote verjetnosti (\(p(x)\)) pri definiciji določenega naključnega procesa; ista gostota verjetnosti ima lahko v frekvenčni domeni zelo različne gostote močnostnega spektra (PSD). PSD ponavadi pridobimo s Fourierjevo transformacijo, običajno z uporabo algoritma FFT.

Definicija PSD temelji na avto-korelacijski funkciji \(R_{xx}(\tau)\), ki implicitno vsebuje frekvenčno vsebino \(x(t)\), hkrati pa izpolnjuje Dirichletov pogoj (vsaj v primeru procesov z ničelno srednjo vrednostjo):

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \left|x(t)\right| \textrm{d} t < \infty. \]

Ker sta avto-korelacijska funkcija in PSD par Fourierjeve transformacije, lahko za naključna procesa \(x(t)\) in \(y(t)\) zapišemo naslednje (Wiener-Khinchine) odnose:

\[\begin{split} \begin{split} S_{xx}(f) &= \mathcal{F}\{R_{xx}(\tau)\}, \\ S_{yy}(f) &= \mathcal{F}\{R_{yy}(\tau)\}, \\ S_{xy}(f) &= \mathcal{F}\{R_{xy}(\tau)\}. \end{split} \end{split}\]

\(S_{xx}(f)\) in \(S_{yy}(f)\) (PSD, imenovana tudi auto-spektralna gostota) sta sodi funkciji s pozitivnimi realnimi vrednostmi. Križna-spektralna gostota (tudi CSD, cross-spectral density) \(S_{xy}(f)\) ima v splošnem kompleksne vrednosti.

Poglejmo si najprej auto-spektralno gostoto:

\[\begin{split} \begin{split} S_{xx}(f) &= \int_{-\infty}^{+\infty} R_{xx}(\tau)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,2\pi\,f\,\tau}\mathrm{d}\tau\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,x(t+\tau)(\tau)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,2\pi\,f\,\tau}\mathrm{d}t\,\mathrm{d}\tau;\qquad{\textrm{(zamenjamo: }}t_1=t+\tau\textrm{)}\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,2\pi\,f\,t}\mathrm{d}t\,\int_{-\infty}^{+\infty} x(t_1)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,2\pi\,f\,t_1}\,\mathrm{d}t_1\\ &=X^*(f)\,X(f) \end{split} \end{split}\]

Na podoben način bi lahko izpeljali križno-spektralno gostoto \(S_{xy}\).

V primeru realnih meritev je časovna zgodovina končne dolžine in je izpolnjen Diricletov pogoj; iz Fourierove transformacije \(k\)-te časovne zgodovine:

\[\begin{split} \begin{split} X_k(f, T) = \int_0^T x_k(t) \,\mathrm{e}^{- \textrm{i} \, 2 \, \pi \, f \, t} \,\textrm{d} t, \\ Y_k(f, T) = \int_0^T y_k(t) \,\mathrm{e}^{- \textrm{i} \, 2 \, \pi \, f \, t} \,\textrm{d} t \\ \end{split} \end{split}\]

lahko z množenjem Fourierovih transformirank določimo križno-spektralno gostoto (ker imamo končno dolgi signal, moramo, da dobimo gostoto, normirati na \(T\)):

\[ S_{xy}(f, T, k) = \frac{1}{T}\, X_k^*(f, T) \, Y_k(f, T) \]

Opomba

Avto (PSD) in križna (CSD) spektralna gostota močnostnega spektra sta torej za primer ergodičnega procesa definirani kot (brez indeksa \(k\)):

\[\begin{split} \begin{split}\label{eq:Sxx_Syy_ergodic} S_{xx}(f) &= \frac{1}{T}\, X^*(f) \, X(f)\qquad\text{PSD},\\ S_{xy}(f) &= \frac{1}{T}\, X^*(f) \, Y(f)\qquad\text{CSD}, \end{split} \end{split}\]

Avto-spektralna gostota \(S_{xx}(f)\) pokriva negativne in pozitivne frekvence in se zato imenuje tudi dvostranska funkcija spektralne gostote. Pogosto se uporablja enostranska funkcija spektralne gostote \(G_{xx}(f)\), ki je definirana kot:

\[\begin{split} G_{xx}(f) = \begin{cases} 2\,S_{xx}(f), & f>0\\ S_{xx}(f),& f=0\\ 0,&f<0. \end{cases} \end{split}\]

Podobno velja za \(G_{xy}(f)\), za dvostranski križno-spektralno gostoto velja \(S_{xy}(f)=S_{yx}^*(f)\).

Zgled 1#

Poglejmo si najprej izračun avto-spektralne gostote s pomočjo Fourierove transformacije. Na koncu zgleda preverimo Parsevalov teorem v diskretni obliki:

\[ \sigma_x^2 = \frac{1}{T} \int x^2(t)\,\textrm{d} t = \int S_{xx}(f)\,\textrm{d} f. \]

Pri zgledu bodite previdni, kako se obravnava \(S_{xx}(f)\) in \(G_{xx}(f)\).

../_images/6ab1d539e7650cfe4e149ac2e900fa571c6744ff9290dae7b7288118fa149976.png

../_images/46f8d7c74c1bf3c3bc0e5c8dc22eca149f8b83683fe378ef435497324f30f64e.png

../_images/cedece4f68c51266d51e5045743d67fab5d86b877b641b1e43d57bdfbd5945eb.png

Integral v času:  0.9904720416233659 , integral PSD (Sxx):  0.9906062124167658 , integral PSD (Gxx):  0.990830770222994 , integral PSD (Gxx) Welch:  0.9907922407740426

Pogledamo lahko tudi izračun variance z vgrajeno numpy.var() metodo:

np.var(x)

0.9908102289544899

Zgled 2#

Poglejmo si sedaj zgled in najprej izračunajmo varianco s pomočjo definicije normalne porazdelitve z ničelno srednjo vrednostjo \(\mu=0\) in standardno deviacijo \(\sigma=3\):

\[ \sigma_x^2 = E \left[x^2(t)\right] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \, p(x)\, \textrm{d} x \]

import sympy as sym
σ, μ, x, = sym.symbols('\\sigma, \\mu, x', real=True, positive=True)
π = sym.pi

p = 1/(σ*sym.sqrt(2*π)) * sym.exp(-(x-μ)**2/(2*σ**2))

podatki = {σ: 3., μ: 0.}

sym.integrate(x**2*p, (x, -sym.oo, +sym.oo)).subs(podatki)

\[\displaystyle 9.0\]

Pridobili smo pričakovano vrednost \(\sigma^2=9\). Nadaljujemo z integriranjem časovne vrste v času:

\[ \sigma_x^2 = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^2(t)\,\textrm{d} t \]

import numpy as np

σ = 3
rng = np.random.default_rng(0)
N = 1_000_000
T = 10
time,  dt = np.linspace(0, T, N, retstep=True)
fs = 1/dt
x = rng.normal(scale=σ, size=N)

np.trapz(x**2, dx=dt)/T

9.01211481059612

Ker gre za numerične podatke, smo pridobili vrednost, ki je bolj ali manj blizu pričakovani vrednosti \(\sigma^2=9\) (poskusite spremeniti N). Nadaljujemo z izračunom variance v frekvenčni domeni:

\[ \sigma_x^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} S_{xx}(f)\,\textrm{d} f \]

Ali z uporabo enostranskega amplitudnega spektra:

np.sum(Gxx)*fs*N

(495443148482.55273+2.602019554625279e-09j)

X = np.fft.fft(x)/N
scale = 1/(fs*N)
Sxx = np.real(X.conj()*X) * scale
np.sum(Sxx)*fs*N

9.012106104865358

X_r = np.fft.rfft(x)/N
scale = 1/(fs*N)
Gxx = np.real(X_r.conj()*X_r) * scale
Gxx[1:] = 2*Gxx[1:]

Spektralni momenti#

Zaradi definicije PSD sledi, da je površina pod krivuljo enaka pričakovani kvadratni vrednosti \(E[x^2]\) procesa (glejte: Parsevalov teorem in močnostni spekter):

\[ m_0 = E \left[x^2(t)\right] = \int_{-\infty}^{+\infty} S_{xx}(\omega)\, \textrm{d} \omega, \]

kjer je \(m_0\) ničelni spektralni moment enak varianci \(\sigma_x^2\) procesa ničelne srednje vrednosti. Višji sodi momenti ustrezajo varianci časovnih odvodov prvotnega naključnega procesa:

\[ m_2 = E \left[\dot{x}^2(t)\right] = \int_{-\infty}^{+\infty} \omega^2 \, S_{xx}(\omega) \,\textrm{d} \omega. \]

Splošni izraz za \(i\)-ti spektralni moment \(m_i\) lahko zapišemo v obliki:

\[ m_i = \int_{-\infty}^{+\infty} \omega^i \, S_{xx}(\omega) \textrm{d} \omega=\int_{0}^{+\infty} \omega ^i \, G_{xx}(\omega) \,\textrm{d} \omega \]

kjer je \(G_{xx}\) enostranski PSD.

Treba je poudariti, da če je PSD podan v Hz (\(G_{xx}(f)\)) je treba paziti na pravilno uporabo ročice \((2\pi\,f)^i\):

\[ m_i = \int_{0}^{+\infty} (2\pi\,f)^i \, G_{xx}(f) \,\textrm{d} f \]

Zgled#

Poglejmo si ponovno zgled; najprej definirajmo harmonski odziv z amplitudo \(A=1\). Varianca pomika je pričakovana: \((A/\sqrt{2})^2=0.5\,A\), varianca hitrosti: hitrosti pa \(((2\pi\,f_0\,A)/\sqrt{2})^2=2\pi^2\,f_0^2\,A\) in varianca pospeška \((((2\pi\,f_0)^2\,A)/\sqrt{2})^2=2^3(\pi\,f_0)^4\,A\).

0.5000000000000002

../_images/5c69fa33aae20d63044da22243b3c8e6b4aff4b7fa6325183108d546c7c55f02.png

Definirajmo funkcijo spektralnih momentov:

def spektralni_moment(X_r, freq, i=0):
    # scale tukaj ne uporabimo, ker se pokrajša
    Gxx = X_r.conj()*X_r
    Gxx[1:] = 2*Gxx[1:]
    return np.real(np.sum((2*np.pi*freq)**i * Gxx))

Spektralni moment \(m_0\) (pomik): preverimo, ali res dobimo pričakovano vrednost (\(0.5\,A=0.5\)) tudi v frekvenčni domeni:

spektralni_moment(X_r=X, freq=freq, i=0)

0.49999950000000015

Spektralni moment \(m_2\) (hitrost): za hitrost pričakujemo vrednost \(2\pi^2\,f_0^2\,A=197392.08\):

spektralni_moment(X_r=X, freq=freq, i=2)

197392.0431335743

Ali v času:

v = np.gradient(x)/dt
np.trapz(v**2, dx=dt)/T

197389.49045450424

Spektralni moment \(m_4\) (pospešek): za pospešek pričakujemo \(2^3(\pi\,f_0)^4\,A=77927272827.2\):

spektralni_moment(X_r=X, freq=freq, i=4)

100537876580.76161

Ali v času:

a = np.gradient(v)/dt
np.trapz(a**2, dx=dt)/T

77925221885.31581

Opazimo že relativno veliko odstopanje, razlog je v numerični napaki. Amplitudni spekter \(X\) ima zunaj \(f_0\) teoretično vrednosti 0, dejansko pa vrednost blizu nič, ker izraz za izračun četrtega spektralnega momenta visoke frekvence zelo poudari (\((2\pi\,f)^4\)), se poudari tudi numerična napaka. Boljši rezultat pridobimo, če se npr. frekvenčno omejimo:

sel = np.logical_and(freq>=(f_0-1),freq<=(f_0+1))
spektralni_moment(X_r=X[sel], freq=freq[sel], i=4)

77926867176.11661