3. Fourierova integralska transformacija

Vsebina

3. Fourierova integralska transformacija#

Če so Fourierove vrste omejene na periodične podatke, je pri Fourierovi integralski transformaciji cilj posplošitev na neperiodične podatke. V ideji to dosežemo tako, da periodo \(T_p\) razširimo v neskončnost. V nadaljevanju si bomo pogledali detajle.

Izračun Fourierove vrste (2. Fourierove vrste) temelji na periodi \(T_p\); integral za izračun koeficientov lahko definiramo od \(-T_p/2\) do \(+T_p/2\):

\[ c_n=\frac{1}{T_p}\,\int_{-T_p/2}^{+T_p/2}x(t)\,\mathrm{e}^{-\textrm{i}\,\omega_{p}\,n\,t}\,\textrm{d} t, \]

kjer je \(\omega_p=2\pi/T_p\) osnovna krožna frekvenca. Kadar \(T_p\) postane velik in gre proti neskončnosti \(T_p\rightarrow \infty\), osnovna krožna frekvenca gre proti nič: \(\omega_p\rightarrow 0\). Da se izognemu težavam pri deljenju z \(\infty\), pomnožimo zgornji izraz s \(T_p\), uporabimo \(\omega_n=n\,\omega_p\) in nadaljujemo:

\[ \lim_{T_p\rightarrow \infty} c_n\,T_p=\underbrace{\int_{-T_p/2}^{+T_p/2}x(t)\,\mathrm{e}^{-\textrm{i}\,\omega_{n}\,t}\,\textrm{d} t}_{X(\omega_n)}. \]

Ob predpostavki, da limita obstaja, zapišemo Fourierovo transformacijo (tudi Fourierov integral):

\[ X(\omega)= \mathcal{F}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\,\mathrm{e}^{-\textrm{i}\,\omega\,t}\,\textrm{d} t, \]

kjer smo namesto \(\omega_{n}\) zapisali \(\omega\), saj je sedaj frekvenca zvezno definirana. \(X(\omega)\) predstavlja amplitudno frekvenčno gostoto, saj je \(c_n\,T_p=c_n/\Delta f\), kjer je \(\Delta f\) frekvenčna pasovna širina (ang. bandwidth). S \(\mathcal{F}\{\}\) označimo Fourierovo transformacijo.

Poglejmo si sedaj še rekonstruirano zvezno funkcijo, kadar \(T_p\rightarrow \infty\):

\[ x(t)=\lim_{T_p\rightarrow\infty}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} X(\omega_n)\underbrace{\frac{1}{T_p}}_{\Delta f}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\overbrace{2\pi\,n/T_p}^{\omega_n}\,t} =\lim_{T_p\rightarrow\infty}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} X(\omega_n)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\omega_n\,t}\Delta f, \]

v limitni obliki, je izraz zvezen in ga imenujemo inverzna Fourierova transformacija, ter označimo z \(\mathcal{F}^{-1}\{\}\):

\[ x(t)=\mathcal{F}^{-1}\{X(\omega)\}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\omega\,t}\textrm{d}\omega. \]

V izrazu zgoraj smo uporabili \(\textrm{d}f=\textrm{d}\omega/(2\pi)\).

Opomba

Če tukaj še enkrat ponovimo Fourierovo transformacijo in njeno inverzno obliko zapisano v krožni frekvenci:

\[ X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,\mathrm{e}^{-\,\textrm{i}\,\omega\,t}\,\textrm{d} t, \qquad x(t)=\frac{1}{2\,\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega)\,\mathrm{e}^{\,\textrm{i}\,\omega\,t}\,\textrm{d} \omega. \]

Opomba

V numeričnih metodah pa je frekvenca bolj pogosto definirana v sekundni frekvenci, takrat je Fourierova transformacija in njena inverzna oblika definirana kot:

\[ X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,\mathrm{e}^{-\textrm{i}\,2\pi\,f\,t}\,\textrm{d} t, \qquad x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} X(f)\,\mathrm{e}^{\textrm{i}\,2\pi\,f\,t}\,\textrm{d} f. \]

Nekateri primeri Fourierove transformacije#

Diracova delta funkcija#

Najprej si poglejmo Fourierovo transformacijo Diracove delta funkcije \(\delta(t)\):

\[ \mathcal{F}\{\delta(t)\} = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t)\,\mathrm{e}^{-\,\textrm{i}\,\omega\,t}\,\textrm{d} t=\mathrm{e}^{-\,\textrm{i}\,\omega\,0}=1, \]

Na podlagi zgornje izpejave zaključimo, da je Diracova delta funkcija v času neskončno kratka, v frekvenčni domeni pa neskončno široka (zasede celotni spekter oz. vse frekvence). Veljalo bi tudi obratno, če bi delta funkcijo definirali v frekvenčni domeni, bi bila neskončno ozka, v času pa neskončno široka. K temu konceptu se bomo pozneje vračali.

Simetrična eksponentno padajoča funkcija#

Poglejmo si sedaj še simetrično, eksponentno padajočo, funkcijo \(x(t)\):

\[ x(t)=\mathrm{e}^{-\eta\,|t|},\qquad\textrm{kjer je:}\qquad\eta>0 \]

Fourierova transformacija:

\[ \mathcal{F}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\eta\,|t|}\,\mathrm{e}^{-\,\textrm{i}\,2\pi\,f\,t}\,\textrm{d} t=\frac{2\,\eta}{\eta^{2} + 4 \pi^{2}\,f^{2}} \]

Opazimo, da je pri frekvenci 0 Hz ampituda \(|X(0)|=2/\eta\), in pade na polovico začetne amplitude pri frekvenci: \(f_{1/2}=\eta/(2\pi)\). Parameter \(\eta\) definira časovni raztros; večja, ko je vrednost \(\eta\), hitreje bo funkcija konvergirala k vrednosti nič v časovni domeni in počasneje v frekvenčni domeni. Podobno kakor pri delta funkciji, torej ugotovimo, da majhen časovni raztros rezultira v velik frekvenčni raztros in obratno.

Poglejmo si sedaj zgled v času in frekvenci:

../_images/ed1ef46695462c90016169872ebe148200908c51fc657ed17efa833318940ae8.png

../_images/bd58983c66f84f862270717f5b53ac9c19e191e048fee065f908027483cb75be.png

Pri primeru zgoraj opazimo, da simetrična eksponentna funkcija rezultira v Fourierovo transformacijo, ki ima samo realno komponento različno od nič. To velja sicer za vse sode funkcije; obratno bi veljalo za lihe funkcije: ne ničelna bi bila imaginarna komponentna (slika spodaj). Podobno smo sicer ugotovili že pri Fourierovih vrstah sodih in lihih funkcij (za več glejte: Fourierove vrste lihih in sodih funkcij.

../_images/3de320faed6d8fe7007bb264ba5be72390d498fa30d5372eb9a89b6b35e7712a.png

../_images/03ccbdc4aaf74e881b9a195ed673c00c92a4c30cb36b9fd8bee7dbf693133ee4.png

Sicer pa velja poudariti, da v splošnem realni signali \(x(t)\) po Fourierovi transformaciji postanejo kompleksni, njihova amplituda je soda, faza pa liha funkcija (slika spodaj, \(\theta(t)\) označuje enotsko funkcijo stopnice). Časovni signali so v splošnem lahko kompleksne oblike in takrat v frekvenčni domeni v splošnem ne opazimo sodosti/lihosti amplitude ali faze (poskusite spremeniti kodo spodaj).

Show code cell source Hide code cell source

import sympy as sym
t, f, d = sym.symbols('t, f, d', real=True)
η = sym.symbols('\\eta', real=True, positive=True)
podatki = {η: 0.1, d: 10}
x = sym.Heaviside(t-d)*sym.exp(-η*sym.Abs(t-d))
# x = sym.sign(t-d)*sym.exp(-η*sym.Abs(t-d)) # časovni zamik, liha funkcija, povprečje nič
x2 = sym.Heaviside(t)*sym.exp(-η*sym.Abs(t))
x3 = sym.I*sym.Heaviside(t-2*d)*sym.exp(-η*sym.Abs(t-2*d))  # kompleksna časovna vrsta; to bo hitro
# x3 = sym.I*sym.sign(t-2*d)*sym.exp(-η*sym.Abs(t-2*d))  # kompleksna časovna vrsta; to bo hitro, liha funkcija, povprečje nič
# x = x + sym.I*sym.sign(t)*sym.exp(-η*sym.Abs(t)) # kompleksna časovna vrsta; to bo trajalo
X = sym.fourier_transform(x, t, f)
X2 = sym.fourier_transform(x2, t, f)
X3 = sym.fourier_transform(x3, t, f)

p1 = sym.plot(x.subs(podatki), (t,-50,50), xlabel='$t [s]$', ylabel='$x(t)$', 
              line_color='C0', title='Časovna domena', show=False, label=f'${sym.latex(x)}$')
p2 = sym.plot(x2.subs(podatki), (t,-50,50), line_color='C1',  label=f'${sym.latex(x2)}$', show=False)
p3 = sym.plot(sym.im(x3).subs(podatki), (t,-50,50), line_color='C2', label=f'Im(${sym.latex(x3)}$)', show=False)
p1.extend(p2)
p1.extend(p3)
p1.legend = True
p1.show()
p1 = sym.plot(sym.Abs(X.subs(podatki)), (f,-.1,.1), line_color='C0', xlabel='$f [Hz]$', ylabel='$|X(f)|$', 
         title='Frekvenčna domena - amplituda', show=False, label=f'${sym.latex(x)}$')
p2 = sym.plot(sym.Abs(X2.subs(podatki)), (f,-.05,.05), line_color='C1', label=f'${sym.latex(x2)}$', show=False)
p3 = sym.plot(sym.Abs(X3.subs(podatki)), (f,-.075,.075), line_color='C2', label=f'${sym.latex(x3)}$', show=False)
p1.extend(p3)
p1.extend(p2)
p1.legend = True
p1.show()
p1 = sym.plot(sym.arg(X.subs(podatki)), (f,-.1,.1), line_color='C0', ylabel='$\\angle X(f)$',
         title='Frekvenčna domena - faza',  show=False, label=f'${sym.latex(x)}$')
p2 = sym.plot(sym.arg(X2.subs(podatki)), (f,-.1,.1), line_color='C1', label=f'${sym.latex(x2)}$', show=False)
p3 = sym.plot(sym.arg(X3.subs(podatki)), (f,-.1,.1), line_color='C2', label=f'${sym.latex(x3)}$', show=False)
p1.extend(p2)
p1.extend(p3)
p1.legend = True
p1.show()

../_images/5ecfcf088fd2eb23a88f65afe1cd8389f60089eb47f2079ed1bf4bfcaeededdb.png

../_images/a3364cce4b0327ab95cc7f1d7a7c4a23ca5805ba33062b2e0afdf8878caccc6e.png

../_images/e220e9dc35b578da9b7871785f23f7585ba34ca645ef52de1b751dc4ba751d8f.png

Sinusna funkcija#

Predpostavimo sinusno funkcijo:

\[ x(t) = A\,\sin(2\pi\,p\,t), \]

ki jo preoblikujemo v:

\[ x(t) = \frac{A}{2\,\textrm{i}}\, \left(\mathrm{e}^{\textrm{i}\,2\pi\,p\,t}-\mathrm{e}^{-\textrm{i}\,2\pi\,p\,t} \right) \]

in potem nadaljujemo z izračunom Fourierove transformacije:

import sympy as sym
A, t, f = sym.symbols('A, t, f', real=True)
p = sym.symbols('p', real=True, positive=True)
i = sym.I
π = sym.pi

x = A*(sym.exp(i*2*π*p*t)-sym.exp(-i*2*π*p*t))/(2*i)
X = sym.fourier_transform(x, t, f)
X

\[\displaystyle \frac{i A \left(\mathcal{F}_{t}\left[e^{- 2 i \pi p t}\right]\left(f\right) - \mathcal{F}_{t}\left[e^{2 i \pi p t}\right]\left(f\right)\right)}{2}\]

V zgornji strojni izpeljavi \(\mathcal{F}_{t}[\cdot]\) predstavlja Fourierovo transformacijo. Glede na lastnosti Diracove delta funkcije (glejte Lastnosti Diracove delta funkcije) vemo \(\mathcal{F}_{t}\left[\mathrm{e}^{-2 \textrm{i}\,\pi\,p\,t}\right]\left(f\right)=\delta(p+f)\) in torej sledi:

\[ \mathcal{F}_{t}\left( A\,\sin(2\pi\,p\,t)\right)= \frac{\mathrm{i} A}{2} \delta(f - p) - \frac{\mathrm{i} A}{2}\delta(f + p) \]

kar prikažemo na sliki spodaj.

../_images/87ddb3b071e39b30d1a9b622e98d4d367bf71ba79e8d135fbd332e719b066719.png

Pravokotni impulz#

Predpostavimo pravokotno funkcijo:

\[\begin{split} x(t) = \begin{cases} a&;\qquad |t|<b\\ 0&;\qquad \textrm{sicer,} \end{cases} \end{split}\]

kar v primeru Fourierove transformacije vodi v:

\[ X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t)\,\mathrm{e}^{-\textrm{i}\,2\pi\,f\,t}\,\textrm{d} t= \int_{-b}^{+b} a\,\mathrm{e}^{-\textrm{i}\,2\pi\,f\,t}\,\textrm{d} t=\frac{a \sin\left(2 \pi\,b\,f \right)}{\pi\,f} \]

in lahko preoblikujemo v:

\[ X(f)=2\,a\,b\,\frac{\sin\left(2 \pi\,b\,f \right)}{2 \pi\,b\,f }. \]

Zgornji izraz jasno kaže: ko \(f\) limitira proti 0, \(X(f)\) limitira k \(2\,a\,b\); sicer pa v frekvenčni domeni oscilira s frekvenco \(1/b\). Nekatere karakteristike vidimo iz slike spodaj: ponovno opazimo, da bolj, ko so podatki široki v času, bolj so ozki v frekvenci.

../_images/08467525bebe8b4f2eb56971713921f1b021a86e98c575221f60966379a7edcd.png

../_images/e9724d31e55d5df847f902b77bbd0881103e78fb68eb10d48dec577e09805db1.png

Dušeni odziv#

Tukaj si bomo najprej pogledali simetrični dušeni odziv:

\[ x_1(t) = \mathrm{e}^{-\delta\,|t|}\,\cos(2\pi\,f_0\,t) \]

in nato še enostranski dušeni odziv:

\[\begin{split} x_2(t) = \begin{cases} \mathrm{e}^{-\delta\,t}\,\cos(2\pi\,f_0\,t)&;\qquad t\ge 0\\ 0&;\qquad \textrm{sicer.} \end{cases} \end{split}\]

Fourierovo transformacijo za oba dušena odziva izpeljemo (in nato prikažemo):

import sympy as sym
t, f = sym.symbols('t, f', real=True)
δ = sym.symbols('\\delta', real=True, positive=True)
f_0 = sym.symbols('f_0', real=True, positive=True)
i = sym.I
π = sym.pi

podatki = {δ: 0.1, f_0: 1}
x_1 = sym.exp(-δ*sym.Abs(t))*sym.cos(2*π*f_0*t)
x_2 = sym.Heaviside(t)*sym.exp(-δ*t)*sym.cos(2*π*f_0*t)
X_1 = sym.fourier_transform(x_1, t, f)
X_2 = sym.fourier_transform(x_2, t, f)
X_2

\[\displaystyle \frac{\delta + 2 i \pi f}{4 \pi^{2} f_{0}^{2} + \left(\delta + 2 i \pi f\right)^{2}}\]

../_images/86a3b01b3b24cca67797d5ecb19ae4220fd0602d261f2396c7d64e02bf3251d8.png

../_images/9354f5073b4d427ce1145d7ed2874bc909b72b04d2b5276067f65088dac4bd00.png

../_images/5f0a4ea86addbfa824875c0bf1a3191a9ca4bfaf823e4f96220bd2a1b6fa0f15.png

Gaussov impulz#

Gaussovo okno ima zelo pomembno mesto pri različnih teoretičnih izpeljavah (npr.: porazdelitev verjetnosti, okna, valčna transformacija) in zato si bomo tukaj pogledali njegovo obliko v frekvenčni domeni. Najprej definirajmo :

\[ x(t) = \mathrm{e}^{-a\,t^2};\qquad a>0. \]

Fourierovo transformacijo izpeljemo (spodaj) in rezultira v:

\[ X(f)=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\, \mathrm{e}^{-\pi^{2}\,f^{2}/a} \]

import sympy as sym
t, f = sym.symbols('t, f', real=True)
a = sym.symbols('a', real=True, positive=True)

x = sym.exp(-a*t**2)
X = sym.fourier_transform(x, t, f)
X

\[\displaystyle \frac{\sqrt{\pi} e^{- \frac{\pi^{2} f^{2}}{a}}}{\sqrt{a}}\]

Rezultat nato še prikažemo (ker je Gaussova funkcija soda, je faza v frekvenčni domeni enaka 0):

../_images/51625f14cc19615d3c2c0af0ad6157f798741bf4dcbbb13cf9d91c009d42be78.png

../_images/550b45886dea5526c17bb1012e4eca02c39bfc3367821f7c836d1d816d70575e.png

Lastnosti Fourierove transformacije#

Linearnost (ang. linearity)#

Opomba

Fourierova transformacija je linearna, kar pomeni:

\[ \mathcal{F}\{a\,x(t)+b\,y(t)\} = a\,X(f) + b\,Y(f). \]

Še izpeljava:

import sympy as sym
t, f = sym.symbols('t, f', real=True)
a, b = sym.symbols('a, b', real=True, positive=True)
x = sym.Function('x')
y = sym.Function('y')
i = sym.I
π = sym.pi

A = sym.integrate(( a*x(t) + b*y(t) )*sym.exp(-i*2*π*f*t), (t, -sym.oo, +sym.oo))
A

\[\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left(a x{\left(t \right)} + b y{\left(t \right)}\right) e^{- 2 i \pi f t}\, dt\]

Izraz razširimo; ker sta \(a\) in \(b\) konstanti, potrdimo linearnost:

sym.expand(A)

\[\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left(a x{\left(t \right)} e^{- 2 i \pi f t} + b y{\left(t \right)} e^{- 2 i \pi f t}\right)\, dt\]

Spodaj si poglejmo konkreten primer.

../_images/3d32294254571e1bbb3f6ac43a152ea75fc37a3bb604573d7de673424f61dcc5.png

../_images/a81a9358eff32ad6bb6cdb2cf3608c706574c2b2c725cbd8f2f403335bd44bec.png

Časovno skaliranje (ang. time scaling)#

Opomba

Časovno skaliranje je definirano kot \(a\,t\) in ima na Fourierovo transformacijo vpliv:

\[ \mathcal{F}\{x(a\,t)\} = \frac{1}{|a|}\,X(f/a). \]

Še izpeljava (za pozitivni \(a\)):

import sympy as sym
t, f, τ = sym.symbols('t, f, tau', real=True)
a = sym.symbols('a', real=True, positive=True)
x = sym.Function('x')
i = sym.I
π = sym.pi
X = sym.integrate(x(a*t)*sym.exp(-i*2*π*f*t), (t, -sym.oo, +sym.oo))

sym.Eq(X, X.transform(a*t, τ))

\[\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} x{\left(a t \right)} e^{- 2 i \pi f t}\, dt = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{x{\left(\tau \right)} e^{- \frac{2 i \pi f \tau}{a}}}{a}\, d\tau\]

Časovno skaliranje postane pomembno na primer, ko spremljamo isto dogajanje z dvema različnima urama.

../_images/4376cde4610d73359c1ad949df5735b16c263458c9efb0aaa9d50d6d15085f66.png

../_images/38e07fdf39e296c23a368cde8436a4139184aaf4a5721f890295c73954fc502a.png

Fourierova transformacija časovno skalirane funkcije je enaka ustrezno korigirani neskalirani Fourierovi transformiranki:

X_2

\[\displaystyle 0.909090909090909 \sqrt{\pi} e^{- 0.826446280991735 \pi^{2} f^{2}}\]

(X_1/a).subs(f, f/a).subs(podatki)

\[\displaystyle 0.909090909090909 \sqrt{\pi} e^{- 0.826446280991735 \pi^{2} f^{2}}\]

Časovni obrat (ang. time reversal)#

Opomba

Časovni obrat ima na Fourierovo transformacijo vpliv:

\[ \mathcal{F}\{x(-t)\} = X(-f)\qquad \left(=X^*(f), \quad\textrm{če je } x(t)\textrm{ realna funkcija}\right). \]

Še izpeljava:

import sympy as sym
t, f, τ = sym.symbols('t, f, tau', real=True)
a = sym.symbols('a', real=True, positive=True)
x = sym.Function('x')
i = sym.I
π = sym.pi
X = sym.integrate(x(-t)*sym.exp(-i*2*π*f*t), (t, -sym.oo, +sym.oo))

sym.Eq(X, X.transform(-t, τ))

\[\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} x{\left(- t \right)} e^{- 2 i \pi f t}\, dt = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x{\left(\tau \right)} e^{2 i \pi f \tau}\, d\tau\]

Časovni premik (ang. time shifting)#

Opomba

Časovni premik je definiran z \(t_0\) in ima na Fourierovo transformacijo vpliv

\[ \mathcal{F}\{x(t-t_0)\} = \mathrm{e}^{-\textrm{i}\,2\pi\,f\,t_0}\,X(f). \]

Še izpeljava:

import sympy as sym
t, t_0, f, τ = sym.symbols('t, t_0, f, tau', real=True)
a = sym.symbols('a', real=True, positive=True)
x = sym.Function('x')
i = sym.I
π = sym.pi
X = sym.integrate(x(t-t_0)*sym.exp(-i*2*π*f*t), (t, -sym.oo, +sym.oo))

sym.Eq(X, X.transform(t-t_0, τ))

\[\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} x{\left(t - t_{0} \right)} e^{- 2 i \pi f t}\, dt = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x{\left(\tau \right)} e^{- 2 i \pi f \left(t_{0} + \tau\right)}\, d\tau\]

Opazimo, da člen \(\mathrm{e}^{-\textrm{i}\,2\pi\,f\,t_0}\) lahko izpostavimo iz integrala.

Časovno skaliranje postane pomembno, kadar obravnavamo zakasnjene meritve (npr. da eno meritev merimo z zakasnitvijo glede na ostale): glejte primer spodaj.

../_images/5ba62faaeeb28e4d9aa5a574ed36b6e1a19dc7daf9a8daacacbeba47aee1674e.png

../_images/e1d4ffd1cb73c4d1ea4f9c97215d57f8fce7d102f6e9df53061d87b8dda91392.png

../_images/aa36339f3a4b86e3dcf4e28c52b87cbdbb69e96955f28d3b1d0e92f68c83b1aa.png

../_images/2fb71a12a1bd984ec0b4eff4821f8f2382e340545eac254ba2e54a08a2ca980e.png

Amplitudna modulacija (ang. modulation, tudi frequency-shifting)#

Opomba

Amplitudna modulacija je definirana z \(\mathrm{e}^{\textrm{i}\,2\pi\,f_0\,t}\) in ima na Fourierovo transformacijo vpliv:

\[ \mathcal{F}\{x(t)\,\mathrm{e}^{\textrm{i}\,2\pi\,f_0\,t}\} = X(f-f_0). \]

Amplitudno modulacijo srečamo tudi v obliki, pomnoženi s cosinusno funkcijo:

\[ \mathcal{F}\{x(t)\,\cos(2\pi\,f_0\,t)\} = \frac{1}{2}\big(X(f-f_0)+X(f+f_0)\big). \]

Še izpeljava:

import sympy as sym
t, f, τ = sym.symbols('t, f, tau', real=True)
f_0 = sym.symbols('f_0', real=True, positive=True)
x = sym.Function('x')
i = sym.I
π = sym.pi
X = sym.integrate(x(t)*sym.exp(i*2*π*f_0*t)*sym.exp(-i*2*π*f*t), (t, -sym.oo, +sym.oo))

sym.Eq(X, sym.simplify(X))

\[\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} x{\left(t \right)} e^{- 2 i \pi f t} e^{2 i \pi f_{0} t}\, dt = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x{\left(t \right)} e^{2 i \pi t \left(- f + f_{0}\right)}\, dt\]

Amplitudna modulacija je v praksi relativno pogosta. Opazimo jo na primer, ko merimo nihanje plošče z laserjem in se nam podlaga laserja trese; v spodnjih slikah je pomik merjene strukture označen z \(x(t)\), podlaga laserja pa niha z \(\cos(2\pi\,f_0\,t)\).

../_images/64b49ceee45c91b155bd56fca782ccbfbf4756a94543c4ec06aea6d0ea4a7173.png

../_images/ca171e8655478d9192603905ec6a7a7f92e4de7a1f7d1e48b4c878aea05c5207.png

Mimogrede: amplitudna modulacija (AM) in frekvenča modulacija (FM) sta klasična načina prenosa informacij (npr. radijskega signala).

Odvajanje#

Opomba

Če je \(\dot x(t)\) časovni odvod \(x(t)\), je njuna relacija v frekvenčni domeni:

\[ \mathcal{F}\{\dot x(t)\} = \textrm{i}\,2\pi\,f\,X(f) \]

kjer velja predpostavka, da gre \(x(t)\rightarrow 0\), ko gre \(t\rightarrow \pm\infty\).

Še izpeljava:

import sympy as sym
t, f = sym.symbols('t, f', real=True)
x = sym.Function('x')
i = sym.I
π = sym.pi

X = sym.integrate(sym.diff(x(t),t)*sym.exp(-i*2*π*f*t), (t, -sym.oo, +sym.oo))
X

\[\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{- 2 i \pi f t} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}\, dt\]

Uporabiti moramo integriranje po delih \(u = \mathrm{e}^{-\textrm{i}\,2\pi\,f\,t}\), \(\textrm{d}v= \dot x(t)\,\textrm{d}t\); pripravimo \(\textrm{d}u\) in \(v\):

u = sym.exp(-i*2*π*f*t)
dv = sym.diff(x(t),t)

du = sym.diff(u, t)
v = sym.integrate(dv, t)

Sledi, da moramo izraz (prvi del integriranja po delih):

u*v

\[\displaystyle x{\left(t \right)} e^{- 2 i \pi f t}\]

izračunati ob mejah \(+\infty\) in \(-\infty\); glede na definicijo zgoraj, v obeh primerih (zaradi predhodne predpostavke) velja \(x(t=\pm \infty)=0\).

Preostane torej samo še drugi del integriranja po delih:

sym.integrate(v*du, (t, -sym.oo, +sym.oo))

\[\displaystyle - 2 i \pi f \int\limits_{-\infty}^{\infty} x{\left(t \right)} e^{- 2 i \pi f t}\, dt\]

in s tem smo dokaz zaključili.

Integriranje#

Opomba

Če je \(\int_{-\infty}^t x(\tau)\,\textrm{d}\tau\) integral funkcije \(x(t)\), je njuna relacija v frekvenčni domeni:

\[ \mathcal{F}\big{\{}\int_{-\infty}^t x(\tau)\,\textrm{d}\tau\big{\}} = \frac{X(f)}{\textrm{i}\,2\pi\,f}. \]

Izpeljava za integriranje sledi iz tiste za odvajanje:

\[ \mathcal{F}\{\dot x(t)\} = \textrm{i}\,2\pi\,f\,\mathcal{F}\{x(t)\}, \]

pri čemer naredimo zamenjavo funkcije: \(u(t)=\dot x(t)\) in \(\int_{-\infty}^t u(t)\,\textrm{d}\tau=x(t)\):

Odvajanje in integriranje v frekvenčni domeni sta zelo pomembni lastnosti Fourierove transformacije, saj nam omogočata enostaven prehod med odvajanimi in integriranimi podatki.

Tukaj velja poudariti, da je časovno odvajanje negotova numerična operacijo, saj temelji na razliki števil, ki se razlikujeta/jo malo (razlika pa se nato deli z majhnim številom, kar dodatno povečuje negotovost). Odvajanje v frekvenčni domeni taki negotovosti ni izpostavljeno.

Nadalje velja poudariti, da je časovno integriranje nestabilna numerična operacija, saj se napaka posameznega koraka sešteva in zato s časom raste. Integracija v frekvenčni domeni taki nestabilnosti ni izpostavljena; res pa je, da imamo pri frekvenci 0Hz nedoločen rezultat (deljenje z 0).

Show code cell source Hide code cell source

import sympy as sym
t, f = sym.symbols('t, f', real=True)
i = sym.I
π = sym.pi

x_1 = sym.exp(-t**2)
x_2 = sym.diff(x_1, t)
x_3 = sym.integrate(x_2, t)

X_1 = sym.fourier_transform(x_1, t, f)
X_2 = sym.fourier_transform(x_2, t, f)
X_3 = sym.fourier_transform(x_3, t, f)

p1 = sym.plot(x_1, (t, -2, +2), line_color='C0', 
              label=f'$x_1(t)={sym.latex(x_1)}$', show=False,
              title='Časovna domena', ylabel='$x(t)$', xlabel='$t$')
p2 = sym.plot(x_2, (t, -2, +2), line_color='C1', 
              label=f'$x_2(t)=\\dot x_1(t)={sym.latex(x_2)}$', show=False)
p3 = sym.plot(x_3, (t, -1, +1), line_color='C2', 
              label=f'$x_3(t)=\\int x_2(t)dt={sym.latex(x_3)}$', show=False)
p1.extend(p2)
p1.extend(p3)
p1.legend = True
p1.show()

p1 = sym.plot(sym.Abs(X_1), (f, -2, +2), line_color='C0',
              label=f'$|X_1(f)|$', show=False, 
              title='Frekvenčna domena - amplituda', ylabel='$|X(f)|$', xlabel='$f$')
p2 = sym.plot(sym.Abs(X_2), (f, -2, +2), line_color='C1',
              label=f'$|X_2(f)|$', show=False)
p3 = sym.plot(sym.Abs(X_3), (f, -.25, +.25), line_color='C2',
              label=f'$|X_3(f)|$', show=False)
p1.extend(p2)
p1.extend(p3)
p1.legend = True
p1.show()

p1 = sym.plot(sym.arg(X_1), (f, -2, +2), line_color='C0',
              label=f'$\\angle X_1(f)$', show=False, 
              title='Frekvenčna domena - faza', ylabel='$|X(f)|$', xlabel='$f$')
p2 = sym.plot(sym.arg(X_2), (f, -2, +2), line_color='C1',
              label=f'$\\angle X_2(f)$', show=False)
p3 = sym.plot(sym.arg(X_3), (f, -1, +1), line_color='C2',
              label=f'$\\angle X_3(f)$', show=False)
p1.extend(p2)
p1.extend(p3)
p1.legend = True
p1.show()

p1 = sym.plot(sym.Abs(X_1), (f, -2, +2), line_color='C0',
              label=f'$|X_1(f)|$', show=False, 
              title='Frekvenčna domena - amplituda', ylabel='$|X(f)|$', xlabel='$f$')
p2 = sym.plot(sym.Abs(X_2/(2*i*π*f)), (f, -2, +2), line_color='C1',
              label=f'$|X_2(f)|$ z integracijo v frekvenčni domeni', show=False)
p1.extend(p2)
p1.legend = True
p1.show()

p1 = sym.plot(sym.arg(X_1), (f, -2, +2), line_color='C0',
              label=f'$\\angle X_1(f)$', show=False, 
              title='Frekvenčna domena - faza', ylabel='$|X(f)|$', xlabel='$f$')
p2 = sym.plot(sym.arg(X_2/(2*i*π*f)), (f, -2, +2), line_color='C1',
              label=f'$\\angle X_2(f)$ z integracijo v frekvenčni domeni', show=False)
p1.extend(p2)
p1.legend = True
p1.show()

../_images/37aee933dddd1d99a5c3dbab1c0d1da5a61aef1dfb67989e37b373505152d128.png

../_images/6c4c356152e5ef458c267a3cca0093477e7cc91aa26ec143e3534a57e1c26ef7.png

../_images/3431687dc52bca17355bcb5c886b617c085f976b76718d9911995622641f4823.png

../_images/360e74fb4596d9386f47dca163e72fd2ea80c69e7e6a7f600d2fefd19c484c12.png

../_images/4713f60bf856a264ddf0caf5b5c04b3f1e738b1ac5b20ecbeefa8af1bdcb5bf6.png

Konvolucija funkcij#

Opomba

Fourierova transformacija konvolucije dveh funkcij je enaka produktu Fourierovih transformirank:

\[ \mathcal{F}\big{\{}x(t)*y(t)\big{\}} = X(f)\,Y(f). \]

Znak \(*\) označuje konvolucijo:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\big(x(t)*y(t)\big)\,\mathrm{e}^{-\textrm{i}2\pi\,f\,t}\textrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\,y(t-\tau)\,\textrm{d}\tau\,\,\mathrm{e}^{-\textrm{i}2\pi\,f\,t}\,\textrm{d}t \]

Zgornjo povezavo izpeljemo:

import sympy as sym
t, f, τ, v = sym.symbols('t, f, tau, v', real=True)
x = sym.Function('x')
y = sym.Function('y')
i = sym.I
π = sym.pi

X = sym.integrate(
        sym.integrate(x(τ)*y(t-τ)*sym.exp(-i*2*π*f*t), (τ, -sym.oo, +sym.oo)),
        (t, -sym.oo, +sym.oo))
X

\[\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{- 2 i \pi f t} \int\limits_{-\infty}^{\infty} x{\left(\tau \right)} y{\left(t - \tau \right)}\, d\tau\, dt\]

Uvedemo še novo spremenljivko:

X = X.transform(t-τ, v)
X

\[\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{- 2 i \pi f \left(\tau + v\right)} \int\limits_{-\infty}^{\infty} x{\left(\tau \right)} y{\left(v \right)}\, d\tau\, dv\]

Zgoraj je očitno, da lahko integral po \(\tau\) in \(v\) ločimo, kjer vsak integal predstavlja Fourierovo transformiranko \(X(t)\) in \(Y(f)\).

Fourierova transformacija konvolucije je mogoče najbolj uporabna lastnost Fourierove transformacije, saj množenje v frekvenčni domeni bistveno pohitri izračun konvolucije dveh funkcij. Lastnost bomo s pridom uporabljali pri diskretni Fourierovi transformaciji, preprost primer spodaj pa pokaže ekvivalentnost rezultata v času napram tistemu v frekvenci.

../_images/8742db660d4a86ca0f4bcef5dff5ef5c932568abc2f904f0300cbe39a1521e80.png

../_images/cfaeb7b1e21c9ef87b9e940c5424329e9f615a24f74aa401ca0df0003b3a6aa8.png

Produkt funkcij#

Opomba

Fourierova transformacija produkta dveh funkcij v frekvenčni domeni predstavlja konvolucijo Fourierovih transformirank:

\[ \mathcal{F}\big{\{}x(t)\,y(t)\big{\}} = X(f)*Y(f). \]

Zgornjo povezavo izpeljemo:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \underbrace{x(t)}_{\int_{-\infty}^{+\infty} X(f_1)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,2\pi\,t\,f_1}\, \mathrm{d}f_1}\, \overbrace{y(t)}^{\int_{-\infty}^{+\infty} Y(f_2)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,2\pi\,t\,f_2}\, \mathrm{d}f_2}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,2\pi\,f\,t}\, \mathrm{d}t= \int_{-\infty}^{+\infty} X(f_1)\,\int_{-\infty}^{+\infty} Y(f_2)\, \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\,2\pi\,(f-f_1-f_2)\,t}\, \mathrm{d}t\,\mathrm{d}f_2\,\mathrm{d}f_1 \]

Sedaj upoštevamo \(\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{\pm\textrm{i}\,2\,\pi\,a\,t}\,\textrm{d}t= \delta(a)\) (glejte Lastnosti Diracove delta funkcije) in dokažemo zgornjo izpeljavo:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} X(f_1)\,\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} Y(f_2)\, \delta(f-f_1-f_2)\,\mathrm{d}f_2}_{Y(f-f_1)}\,\mathrm{d}f_1=\int_{-\infty}^{+\infty} X(f_1)\,Y(f-f_1)\,\mathrm{d}f_1= X(f)*Y(f) \]

Spodaj si poglejmo še konkreten zgled.

../_images/40de3622542712a1efcbd516bf49968d81e7a06d3aa317e6e4d081b62955f564.png

../_images/3c56db7e8a9bb07d240716787ad234e22edab003ac547115cc9b42684009fb59.png

Uporaba oken#

Predpostavimo, da želimo izračunati Fourierovo tranformacijo determinističnega signala \(x(t)\), ki je načeloma definiran od \(-\infty\) do \(+\infty\), vendar pa ga gledamo samo na območju od \(-T/2\) do \(+T/2\). Rezultirajoči podatki so tako:

\[ x_T(t)=x(t)\,w(t), \]

kjer je:

\[\begin{split} w(t)= \begin{cases} 1;\quad\textrm{za:}\quad |t|\le T/2\\ 0;\quad\textrm{sicer}. \end{cases} \end{split}\]

Če pridobimo Fourierovo transformacijo \(x_T(t)\) velja:

\[ X_T(t)=\mathcal{F}\{x(t)\,w(t)\}= X(f)*W(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} X(g)\,W(f-g)\,\textrm{d}g \]

Sporočilo torej je: \(X(f)\) predstavlja frekvenčno transformiranko funkcije \(x(t)\), ki jo lahko gledamo samo v nekem časovno omejenem oknu \(w(t)\), le-to pa povzroči, da je Fourierova transformacija popačena. Pravokotni impulz \(w(t)\) smo si že pogledali zgoraj (Pravokotni impulz) in ugotovili, da je frekvenčna transformiranka definirana kot:

\[ W(f)=T\,\frac{\sin\left(\pi\,T\,f \right)}{\pi\,T\,f }, \]

kjer smo uporabili zapis, ki razkrije limito, ko gre \(T\to 0\), gre: \(W(0)=T\).

../_images/323e200bfe8ae336980d611e5292d738873a64d860230d515a4508acc4082279.png

../_images/4893bdeecdbee53eafe29ccc6e94738b64f0d3237b6a0bc7693300456f67fcc8.png

Za sinusuido frekvence fr z amplitudo 1 vemo, da ima v frekvenčni domeni amplitudo 1/2 pri frekvencah -fr in fr; po drugi strani smo zgoraj definirali frekvenčno funkcijo pravokotnega okna. Kako pravokotno okno popači sinusuido, si tako lahko ogledamo, če konvuliramo njuni frekvenčni trasformiranki (primer spodaj).

../_images/f946028c32d4ad5144ae4d104aa0d6697d5e6bf94f651fb7769c62469e2a7fd5.png

../_images/91f33ac537851e48133eb1e75fbaafc560cad5dd527c32b1c4a7fffb6b2f3679.png